2 Dynamique dans l'esquisse virtuelle
2.1 Dynamique sous contraintes
2.1.3 Éléments de calcul
2.1.3.3 Calcul de la racine de la matrice d'inertie
Pour un solide en 3d, la matrice d'inertie est une matrice 6x6. La définition de cette matrice par rapport aux axes principaux d'inertie est :
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(27) |
Il est inutile de garder cette matrice sous cette forme car elle contient beaucoup de zéros même après rotation. Comme :
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(28) |
Il est simplement nécessaire d'évaluer à chaque pas de temps. Si les axes principaux d'inertie ont subi une rotation définie par la matrice . La nouvelle matrice d'inertie est :
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(29) |
Si on pose :
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(30) |
Où :
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(31) |
On cherche donc :
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(32) |
Le calcul de la racine carrée d'une matrice est complexe mais nous sommes ici dans un cas particulier qui nous permet de poser :
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(33) |
Et donc :
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(34) |
En remplaçant dans l'équation 30 :
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(35) |
On obtient le résultat simple à calculer :
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(36) |
L'évaluation de à chaque pas de temps est la multiplication de la matrice de rotation du repère de la pièce avec la matrice de rotation du repère des axes principaux d'inertie par rapport à celui de la pièce. Cette dernière matrice est constante. Si l'on écrit :
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(37) |
L'équation 36 devient :
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(38) |
On peut donc précalculer pour chaque pièce.